集合 $\{1,2,\cdots,2016\}$ 的元素和为奇数的非空子集的个数为 $M$，则 $\log_2 M=$ ．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
$2015$
【解析】
记题中集合为 $M$，符合题意的非空子集组成集合 $P$，集合 $M$ 的所有子集组成集合 $N$，则集合 $P$ 与集合 $\complement_{N}P$，那么存在一一映射\[f:P\to \complement_{N}P,x\mapsto \begin{cases} x-\{1\},&1\in x,\\ x\cup\{1\},&1\notin x.\end{cases}\]因此\[{\rm Card}(P)={\rm Card}\left(\complement_{N}P\right)=\dfrac 12{\rm Card}(N)=2^{2015}.\]
题目
答案
解析
备注
