复数 $z$ 满足 $|z|(3z+2{\rm i})=2({\rm i}z-6)$，则 $|z|=$ ．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
设 $z=a+b{\rm i}$，则有\[|3z+2{\rm i}|^2-|{\rm i}z-6|^2=(3a)^2+(3b+2)^2-(6+b)^2-a^2=8\left(a^2+b^2\right)-32,\]即$$|3z+2{\rm i}|^2-|{\rm i}z-6|^2=8(|z|^2-4).$$情形一 若 $|z|>2$，则$$|3z+2{\rm i}|>|{\rm i}z-6|,$$进而$$||z|(3z+2{\rm i})|>|z({\rm i}z-6)|,$$这与已知条件矛盾；
情形二 若 $|z|<2$，同理可得$$||z|(3z+2{\rm i})|<|2(z+6{\rm i})|,$$也矛盾；
情形三 $|z|=2$．检验可知满足条件．
题目
答案
解析
备注
