题目 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的可导函数，且对任意的 $x>2$，均有 $f(x)+2f'(x)<xf'(x)$，设 $a=f(3)$，$b=\dfrac 12f(4)$，$c=(\sqrt 5+2)f(\sqrt 5)$，则 $a,b,c$ 从小到大的排列为<nn> </nn>（用三位数字作答，用 $1,2,3$ 分别代表 $a,b,c$，如最后大小关系为 $a<b<c$，则输入 $123$）． 答案 $312$ 解析 根据题意，有$$\forall x>2,\dfrac{(x-2)f'(x)-f(x)}{(x-2)^2}>0,$$即在区间 $(2,+\infty)$ 上，有函数 $g(x)=\dfrac{f(x)}{x-2}$ 的导函数 $g'(x)>0$，因此函数 $g(x)$ 在 $(2,+\infty)$ 上单调递增．又 $a=g(3)$，$b=g(4)$，$c=g(\sqrt 5)$，而 $\sqrt 5<3<4$，因此 $c<a<b$，正确的答案是 $c,a,b$． 备注 每日一题[579]慧眼识函数．