已知 $O$ 是锐角 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心，若 $\dfrac{\cos B}{\sin C}\overrightarrow{AB}+\dfrac{\cos C}{\sin B}\overrightarrow{AC}=2m\overrightarrow{AO}$，若 $\angle A=30^{\circ}$，则 $m=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$0.5$
【解析】
等式两边同时对 $\overrightarrow{AO}$ 做数量积，有$$\frac{\cos B}{\sin C}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AO}+\frac{\cos C}{\sin B}\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AO}=2m\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AO},$$利用数量积的几何意义，有$$\frac{\cos B}{\sin C}\cdot\frac 12c^2+\frac{\cos C}{\sin B}\cdot\frac 12b^2=2m\cdot R^2,$$其中 $a,b,c,R$ 分别表示三角形的三边以及外接圆半径，如图．
接下来对式子进行变形$$\frac{\cos B}{\sin C}\cdot\left(\frac c{2R}\right)^2+\frac{\cos C}{\sin B}\cdot\left(\frac b{2R}\right)^2=m,$$应用正弦定理并化简，就得到$$m=\cos B\cdot\sin C+\cos C\cdot\sin B=\sin (B+C)=\sin A.$$
接下来对式子进行变形$$\frac{\cos B}{\sin C}\cdot\left(\frac c{2R}\right)^2+\frac{\cos C}{\sin B}\cdot\left(\frac b{2R}\right)^2=m,$$应用正弦定理并化简，就得到$$m=\cos B\cdot\sin C+\cos C\cdot\sin B=\sin (B+C)=\sin A.$$
题目
答案
解析
备注
