在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$ 是边长为 $1$ 的正三角形．动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PA}=0$，$P$ 的轨迹所围成的平面区域的面积是 $S$，则 $[6S]=$ ，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数．
【难度】
【出处】
2016年中国科学技术大学入学考试试题
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
设 $P(x,y)$，$A\left(-\dfrac 12,0\right)$，$B\left(\dfrac 12,0\right)$，$C\left(0,\dfrac{\sqrt 3}2\right)$，则根据题意有$$\left(-\dfrac 12-x\right)\left(\dfrac 12-x\right)+y^2+\left(\dfrac 12-x\right)(-x)+(-y)\left(\dfrac{\sqrt 3}2-y\right)+(-x)\left(-\dfrac 12-x\right)+(-y)\left(\dfrac{\sqrt 3}2-y\right)=0,$$整理得$$x^2+\left(y-\dfrac{\sqrt 3}6\right)^2=\dfrac 16,$$因此所求面积为 $\dfrac{\pi}6$．
题目
答案
解析
备注
