已知圆 $O:x^2+y^2=1$ 为三角形 $ABC$ 的外接圆，且 $\tan A=2$，若 $\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，$x+y$ 的最大值为 $M$，则 $[100M]=$ ，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
$69$
【解析】
如图，延长 $AO$ 交边 $BC$ 于点 $D$，
设 $\overrightarrow{AO}=\lambda \overrightarrow{AD}$，则有$$\overrightarrow{AD}=\dfrac {x}{\lambda}\overrightarrow{AB}+\dfrac{y}{\lambda}\overrightarrow{AC},$$于是由平面向量共线的表达可得$$\dfrac{x}{\lambda}+\dfrac{y}{\lambda}=1,$$从而可得$$x+y=\lambda=\dfrac{AO}{AD},$$显然，当 $OD$ 取最小值时 $x+y$ 取得最大值，此时三角形 $ABC$ 为等腰三角形，容易计算得 $x+y=\dfrac{5-\sqrt 5}{4}$．
设 $\overrightarrow{AO}=\lambda \overrightarrow{AD}$，则有$$\overrightarrow{AD}=\dfrac {x}{\lambda}\overrightarrow{AB}+\dfrac{y}{\lambda}\overrightarrow{AC},$$于是由平面向量共线的表达可得$$\dfrac{x}{\lambda}+\dfrac{y}{\lambda}=1,$$从而可得$$x+y=\lambda=\dfrac{AO}{AD},$$显然，当 $OD$ 取最小值时 $x+y$ 取得最大值，此时三角形 $ABC$ 为等腰三角形，容易计算得 $x+y=\dfrac{5-\sqrt 5}{4}$．
题目
答案
解析
备注
