已知 $f(x)=x+x\ln x$，若 $k\in\mathbb Z$，且 $k(x-2)<f(x)$ 对任意 $x>2$ 恒成立，则 $k$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
题意即$$\forall x>2,\ln x>(k-1)-\dfrac{2k}x,$$即$$\forall x\in\left(0,\dfrac 12\right),\ln x - 2kx+(k-1)<0.$$记左侧函数为 $\varphi(x)$，则\[\varphi'(x)=\dfrac{1-2kx}{x},\]于是 $\varphi(x)$ 在 $x=\dfrac{1}{2k}$ 处取得极大值，亦为最大值\[\varphi\left(\dfrac{1}{2k}\right)=-1+\ln\dfrac{1}{2k}+k-1,\]于是命题转化为$$k-2-\ln(2k)<0,$$容易验证 $k$ 的最大值为 $4$．
题目
答案
解析
备注
