已知 $a,b$ 为实数，对任何满足 $0\leqslant x\leqslant 1$ 的实数 $x$，都有 $\left|ax+b\right|\leqslant 1$ 成立，则 $\left|20a+14b\right|+\left|20a-14b\right|$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
$80$
【解析】
我们熟知$$\left|20a+14b\right|+\left|20a-14b\right|=\max\left\{40|a|,28|b|\right\},$$于是问题转化为求 $|a|$、$|b|$ 的最大值．
当 $x=0$ 时，容易得到$$|b|\leqslant 1,$$而由图可知被困在矩形区域的直线 $f(x)=ax+b$ 在 $x\in [0,1]$ 上的值域为 $[-1,1]$ 的子集，于是斜率 $a$ 必然在 $[-2,2]$ 内，于是$$|a|\leqslant 2,$$从而不难得到当 $a=2\land b=-1$ 时，原式取得最大值为 $80$．
当 $x=0$ 时，容易得到$$|b|\leqslant 1,$$而由图可知被困在矩形区域的直线 $f(x)=ax+b$ 在 $x\in [0,1]$ 上的值域为 $[-1,1]$ 的子集，于是斜率 $a$ 必然在 $[-2,2]$ 内，于是$$|a|\leqslant 2,$$从而不难得到当 $a=2\land b=-1$ 时，原式取得最大值为 $80$．
题目
答案
解析
备注
