已知函数 $f(x) = \dfrac{{a + 3bx + \sin x + bx\cos x}}{{3 + \cos x}}$（$a , b \in {\mathbb{R}}$），若 $f(x)$ 在 ${\mathbb {R}}$ 上既有最大值，又有最小值，且最大值与最小值的和为 $6$，则 $a + b = $ ．
【难度】
【出处】
2011年南京理工大学自主招生暨保送生考试数学试题
【标注】
【答案】
$8$
【解析】
$f\left( x \right)$ 在 ${\mathbb{R}}$ 上有最值，于是 $b = 0$．
从而 $f\left( x \right) = \dfrac{{a + \sin x}}{{3 + \cos x}}$，记 $y = \dfrac{{a + \sin x}}{{3 + \cos x}}$，则$$\sin x - y\cos x = 3y - a,$$所以$$\dfrac{{{{\left( {3y - a} \right)}^2}}}{{1 + {y^2}}} \leqslant 1,$$即$$8{y^2} - 6ay + {a^2} - 1 \leqslant 0,$$根据题意 ${y_1} + {y_2} = 6$，所以 $\dfrac{{6a}}{8} = 6$，所以 $a = 8$．
从而 $f\left( x \right) = \dfrac{{a + \sin x}}{{3 + \cos x}}$，记 $y = \dfrac{{a + \sin x}}{{3 + \cos x}}$，则$$\sin x - y\cos x = 3y - a,$$所以$$\dfrac{{{{\left( {3y - a} \right)}^2}}}{{1 + {y^2}}} \leqslant 1,$$即$$8{y^2} - 6ay + {a^2} - 1 \leqslant 0,$$根据题意 ${y_1} + {y_2} = 6$，所以 $\dfrac{{6a}}{8} = 6$，所以 $a = 8$．
题目
答案
解析
备注
