注意到题中条件两边的次数不齐，考虑将 $\sin A$ 改写为 $\sin (B+C)$，于是有$$\sin B\cos C+\cos B\sin C=2\sin B\sin C,$$朝结论靠拢，有$$\tan B+\tan C=2\tan B\tan C.$$我们熟知在锐角 $\triangle ABC$ 中有$$\tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C,$$于是$$\tan A\tan B\tan C=\tan A+2\tan B\tan C\geqslant 2\sqrt{\tan A\cdot 2\tan B\tan C},$$从而$$\tan A\tan B\tan C\geqslant 8,$$等号当 $\tan A=2\tan B\tan C$ 时取得．经验证，当 $\tan A=4$，$\tan B=2+\sqrt 2$，$\tan C=2-\sqrt 2$ 时可以取得等号，因此 $\tan A\tan B\tan C$ 的最小值是 $8$．