已知平面 $\alpha \perp \beta $，点 $A \in \alpha $，点 $B \in \beta $，$AB$ 与平面 $\alpha ,\beta $ 所成角分别为 $\dfrac{{{\pi }}}{4},\dfrac{{{\pi }}}{6}$，点 $A$、$B$ 在平面 $\alpha $、$\beta $ 的交线 $l$ 上的垂足分别为 $A'$、$B'$，则线段 $AB$ 与 $A'B'$ 的长度之比为 ．
【难度】
【出处】
2010年同济大学自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
如图．
设 $AB = 1$，则$$BB' = AB' = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2},AA' = \dfrac{1}{2},$$于是$$A'{B'^2} = A{B'^2} - A{A'^2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}.$$所以 $\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = 2$．
设 $AB = 1$，则$$BB' = AB' = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2},AA' = \dfrac{1}{2},$$于是$$A'{B'^2} = A{B'^2} - A{A'^2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}.$$所以 $\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = 2$．
题目
答案
解析
备注
