正三棱锥 $D-ABC$ 的底面边长为 $4$，侧棱长为 $8$，过点 $A$ 作与侧棱 $DB,DC$ 都相交的截面 $\triangle{AEF}$，那么，$\triangle{AEF}$ 周长的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
$11$
【解析】
作三棱锥侧面展开图．
由 $\triangle{AEF}$ 周长最小，得 $A,E,F,A_1$ 共线，易知 $EF\parallel BC$，于是等腰三角形$$\triangle{DAB}\backsim \triangle{AEB},$$且$$AE=AB=4,$$所以$$\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{AB}{DA}=\dfrac 12,$$即 $BE=2$，$DE=6$，故$$\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{DE}{DB}=\dfrac 68=\dfrac 34,$$所以 $EF=3$．
由 $A_1F=AE=4$，知$$AA_1=AE+EF+FA_1=11.$$
由 $\triangle{AEF}$ 周长最小，得 $A,E,F,A_1$ 共线，易知 $EF\parallel BC$，于是等腰三角形$$\triangle{DAB}\backsim \triangle{AEB},$$且$$AE=AB=4,$$所以$$\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{AB}{DA}=\dfrac 12,$$即 $BE=2$，$DE=6$，故$$\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{DE}{DB}=\dfrac 68=\dfrac 34,$$所以 $EF=3$．由 $A_1F=AE=4$，知$$AA_1=AE+EF+FA_1=11.$$
题目
答案
解析
备注
