设 $x$ 为实数，定义 $[x]$ 为不小于 $x$ 的最小整数，例如 $[\pi]=4$，$[-\pi]=-3$．关于实数 $x$ 的方程 $[3x+1]=2x-\dfrac 12$ 的全部实根之和等于 ．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
$-4$
【解析】
设 $2x-\dfrac 12=k\in \mathbb Z$，则$$x=\dfrac{2k+1}{4} , 3x+1=k+1+\dfrac{2k+3}{4},$$于是原方程等价于$$\left[\dfrac{2k+3}{4}\right]=-1,$$即$$-2<\dfrac{2k+3}{4}\leqslant -1,$$从而 $-\dfrac {11}{2}<k\leqslant -\dfrac 72$，即 $k=-5$ 或 $-4$．
相应的 $x$ 为 $-\dfrac 94,-\dfrac 74$，于是所有实根之和为 $-4$．
相应的 $x$ 为 $-\dfrac 94,-\dfrac 74$，于是所有实根之和为 $-4$．
题目
答案
解析
备注
