设 $\triangle{ABC}$ 外接圆的半径为 $R$，则\[\begin{split}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}&=\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AC}\right|\cos{120^{\circ}}\\&=2a\cdot \dfrac 2a \cdot \left(-\dfrac 12\right)\\&=-2.\end{split}\]因为$$\begin{cases}\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AB}=\alpha \overrightarrow{AB}^2+\beta \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB},\\\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AC}=\alpha \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+\beta \overrightarrow{AC}^2,\end{cases}$$所以$$\begin{cases}R\cdot 2a\cdot \dfrac 2a=\alpha \cdot 4a^2-2\beta,\\ R\cdot \dfrac 2a \cdot \dfrac{\frac 1a}{R}=-2\alpha+\beta \cdot \dfrac {4}{a^2},\end{cases}$$解得$$\alpha =\dfrac{2a^2+1}{3a^2},\beta =\dfrac{a^2+2}{3},$$故$$\alpha+\beta =\dfrac 43+\dfrac 1{3a^2}+\dfrac{a^2}{3}\geqslant \dfrac 43 +2\sqrt{\dfrac 1{3a^2\cdot \dfrac{a^2}{3}}}=2,$$当且仅当 $a=1$ 时，上式等号成立，所以 $\alpha+\beta$ 的最小值为 $2$．此时，$\triangle{ABC}$ 为等腰三角形．