若非零复数 $x$ 满足 $x+\dfrac 1x=1$，则 $x^{2014}+\dfrac 1{x^{2014}}=$ ．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
$-1$
【解析】
由 $x+\dfrac 1x =1$，可得$$x=\dfrac 12 \pm \dfrac {\sqrt 3}{2}\mathrm i,$$则$$x=\cos \dfrac {\pi}{3}+\mathrm i \sin \dfrac {\pi}{3} \text{或} x=\cos \left(-\dfrac {\pi}{3}\right)+\mathrm i \sin \left(-\dfrac {\pi}{3}\right),$$因此$$ x^{2014}=-\dfrac 12-\dfrac {\sqrt 3}{2}\mathrm i \text{ 或 } x^{2014}=-\dfrac 12+\dfrac {\sqrt 3}{2}\mathrm i,$$故$$x^{2014}+\dfrac {1}{x^{2014}}=-1.$$
题目
答案
解析
备注
