已知平面内三点 $A,B,C$ 满足 $\left|\overrightarrow{AB}\right|=3$，$\left|\overrightarrow{BC}\right|=4$，$\left|\overrightarrow{CA}\right|=5$，则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2011年湖南省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
$-25$
【解析】
由条件知 $\overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{BC}$，记原式为 $m$，则\[\begin{split}m&=\overrightarrow{BC}\cdot \left(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\right) -\left(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\right)\cdot \overrightarrow{BA}\\
&=-BC^2-BA^2\\
&=-25.\end{split}\]
&=-BC^2-BA^2\\
&=-25.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
