已知集合 $A$ 的元素都是整数，其中最小的为 $1$，最大的为 $200$，且除 $1$ 以外，$A$ 中每一个数都等于 $A$ 中某两个数（可以相同）的和．则 $|A|$ 的最小值为 ．（符号 $|A|$ 表示集合 $A$ 中元素的个数）
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
【答案】
$10$
【解析】
易知集合$$A=\{1,2,3,5,10,20,40,80,160,200\}$$符合要求，此时 $|A|=10$．
下面说明 $|A|=9$ 不符合要求．
假设集合$$A=\{1,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},200\} , x_{1}<x_{2}<x_{3}<x_{4}<x_{5}<x_{6}<x_{7}$$符合要求，则 $x_{1}=1+1=2$，所以$$x_{2}\leqslant 2+2=4 , x_{3}\leqslant 8 , x_{4}\leqslant 16 , x_{5}\leqslant 32 , x_{6}\leqslant 64 , x_{7}\leqslant 128.$$因为$$x_{6}+x_{7}\leqslant 64+128=192<200,$$所以$$200=x_{7}+x_{7},$$解得 $x_{7}=100$．
同理，因为$$x_{5}+x_{6}\leqslant 32+64=96<100,$$所以$$x_{7}=100=x_{6}+x_{6},$$解得 $x_{6}=50$．
因为$$x_{4}+x_{5}\leqslant 16+32=48<50,$$所以$$x_{6}=50=x_{5}+x_{5},$$解得 $x_{5}=25$．
因为$$x_{3}+x_{4}\leqslant 8+16=24<25,$$所以$$x_{5}=25=x_{4}+x_{4},$$解得 $x_{4}=\dfrac{25}{2}$，与 $x_{4}$ 为整数矛盾，所以 $|A|=9$ 不符合要求，$|A|\ne 9$．
同理，$|A|\leqslant 8$ 也不符合要求．
因此，$|A|$ 的最小值为 $10$．
下面说明 $|A|=9$ 不符合要求．
假设集合$$A=\{1,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},200\} , x_{1}<x_{2}<x_{3}<x_{4}<x_{5}<x_{6}<x_{7}$$符合要求，则 $x_{1}=1+1=2$，所以$$x_{2}\leqslant 2+2=4 , x_{3}\leqslant 8 , x_{4}\leqslant 16 , x_{5}\leqslant 32 , x_{6}\leqslant 64 , x_{7}\leqslant 128.$$因为$$x_{6}+x_{7}\leqslant 64+128=192<200,$$所以$$200=x_{7}+x_{7},$$解得 $x_{7}=100$．
同理，因为$$x_{5}+x_{6}\leqslant 32+64=96<100,$$所以$$x_{7}=100=x_{6}+x_{6},$$解得 $x_{6}=50$．
因为$$x_{4}+x_{5}\leqslant 16+32=48<50,$$所以$$x_{6}=50=x_{5}+x_{5},$$解得 $x_{5}=25$．
因为$$x_{3}+x_{4}\leqslant 8+16=24<25,$$所以$$x_{5}=25=x_{4}+x_{4},$$解得 $x_{4}=\dfrac{25}{2}$，与 $x_{4}$ 为整数矛盾，所以 $|A|=9$ 不符合要求，$|A|\ne 9$．
同理，$|A|\leqslant 8$ 也不符合要求．
因此，$|A|$ 的最小值为 $10$．
题目
答案
解析
备注
