若 $2013$ 的每个质因子都是某个正整数等差数列 $\{a_{n}\}$ 中的项，则 $a_{2013}$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
$4027$
【解析】
因为$$2013=3\times 11\times 61,$$所以若 $3,11,61$ 皆是某正整数等差数列中的项，则公差 $d$ 应是 $11-3=8$ 与 $61-3=58$ 的公因数，所以 $d=1$ 或 $d=2$．
为使 $a_{2013}$ 取得最大，则数列的首项 $a_{1}$ 和公差 $d$ 都应为尽可能大的数，于是 $d=2$，此时 $a_{1}=3$．
因此 $a_{2013}$ 取得最大值是 $3+2012d=4027$．
为使 $a_{2013}$ 取得最大，则数列的首项 $a_{1}$ 和公差 $d$ 都应为尽可能大的数，于是 $d=2$，此时 $a_{1}=3$．
因此 $a_{2013}$ 取得最大值是 $3+2012d=4027$．
题目
答案
解析
备注
