已知动点 $P(x,y)$ 满足 $\begin{cases}2x+y\leqslant2,\\ x\geqslant0,\\(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})\geqslant1,\end{cases}$ 则动点 $P(x,y)$ 构成图形的面积为 ．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛河北省预赛（高三）
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
由$$(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})\geqslant1,$$得$$x+\sqrt{x^2+1}\geqslant \sqrt{y^2+1}-y,$$所以$$\ln(x+\sqrt{x^2+1})\geqslant\ln(\sqrt{y^2+1}-y).$$由 $f(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ 易知 $f(x)$ 是既增又奇的函数．
题设第三个不等式本质为$$f(x)\geqslant f(-y),$$所以$$x+y\geqslant0.$$由$$\begin{cases}2x+y\leqslant2,\\ x+y\geqslant0,\end{cases}$$得交点坐标为 $(2,-2)$，因此所求图形面积为 $2$．
题设第三个不等式本质为$$f(x)\geqslant f(-y),$$所以$$x+y\geqslant0.$$由$$\begin{cases}2x+y\leqslant2,\\ x+y\geqslant0,\end{cases}$$得交点坐标为 $(2,-2)$，因此所求图形面积为 $2$．
题目
答案
解析
备注
