直角梯形 $ABCD$ 中，$AD \perp AB$，$AB \parallel DC$，$AB=4$，$AD=DC=2$，设点 $N$ 是 $DC$ 边的中点，点 $M$ 是梯形 $ABCD$ 内或边界上的一个动点，则 $\overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {AN}$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$6$
【解析】
当 $\overrightarrow {AM}$ 在 $\overrightarrow {AN}$ 上的投影最大时，$\overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {AN}$ 取最大值．
易知当 $N=C$ 时，$\overrightarrow {AM}$ 在 $\overrightarrow {AN}$ 上的投影最大，此时有$$\overrightarrow {AN}=\overrightarrow {AD}+\dfrac 14\overrightarrow {AB},\\\overrightarrow {AM}=\overrightarrow {AD}+\dfrac 12\overrightarrow {AB},$$所以$$\overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {AN}=2^2+\dfrac 18\cdot 4^2=6.$$
易知当 $N=C$ 时，$\overrightarrow {AM}$ 在 $\overrightarrow {AN}$ 上的投影最大，此时有$$\overrightarrow {AN}=\overrightarrow {AD}+\dfrac 14\overrightarrow {AB},\\\overrightarrow {AM}=\overrightarrow {AD}+\dfrac 12\overrightarrow {AB},$$所以$$\overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {AN}=2^2+\dfrac 18\cdot 4^2=6.$$
题目
答案
解析
备注
