令 $t=\dfrac {-3+\sqrt {8k+1}}{4}$，则$$k=2t^2+3t+1,$$所以 $\left[\dfrac {-3+\sqrt {8k+1}}{4}\right]=n$ 当且仅当$$2n^2+3n+1 \leqslant k<2(n+1)^2+3(n+1)+1,n \in \mathbb N^*.$$由于$$2\times 30^2+3\times 30+1=1891, 2\times 31^2+3\times 31+1=2016.$$所以\[\begin{split}\sum \limits_{k=1}^{2014}\left[\dfrac {-3+\sqrt {8k+1}}{4}\right]&=\sum \limits_{n=1}^{30}n[2(n+1)^2+3(n+1)+1-(2n^2+3n+1)]-30\\ &=\sum \limits_{n=1}^{30}(4n^2+5n)-30=40115.\end{split}\]