设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的奇函数，且对任意 $x \in \mathbb R$，有 $f(x+2)=f(x)+2$，则 $\displaystyle \sum \limits_{k=1}^{2014}f(k)=$ ．
【难度】
【出处】
2014年浙江省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
$2029105$
【解析】
由 $f(x+2)=f(x)+2$，令 $x=-1$，则$$f(1)=f(-1)+2 ,$$解得 $f(1)=1$．
显然 $f(0)=0$．
又$$\begin{split}f(2n)&=\sum \limits_{k=1}^{n}(f(2k)-f(2k-2))+f(0)=2n,\\f(2n-1)&=\sum \limits_{k=2}^{n}(f(2k-1)-f(2k-3))+f(1)=2n-1,\end{split}$$所以$$ \sum \limits_{k=1}^{2014} f( k) =\sum \limits_{k=1}^{2014} k =2029105.$$
显然 $f(0)=0$．
又$$\begin{split}f(2n)&=\sum \limits_{k=1}^{n}(f(2k)-f(2k-2))+f(0)=2n,\\f(2n-1)&=\sum \limits_{k=2}^{n}(f(2k-1)-f(2k-3))+f(1)=2n-1,\end{split}$$所以$$ \sum \limits_{k=1}^{2014} f( k) =\sum \limits_{k=1}^{2014} k =2029105.$$
题目
答案
解析
备注
