函数 $y=f(x+1)$ 的反函数是 $y=f^{-1}(x+1)$，且 $f(1)=4007$，则 $f(1998)=$ ．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
$2010$
【解析】
由 $y=f^{-1}(x+1)$ 得$$x+1=f(y),$$即$$x=f(y)-1,$$所以 $y=f^{-1}(x+1)$ 的反函数为$$y=f(x)-1,$$所以$$f(x+1)-f(x)=-1.$$令 $x=1,2,\cdots,1997$，各式相加得$$f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+\cdots+f(1998)-f(1997)=-1997,$$化简得$$f(1998)-f(1)=-1997,$$所以 $f(1998)=2010$．
题目
答案
解析
备注
