设单调递增数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正整数，且 $a_7=120$，$a_{n+2}=a_n+a_{n+1},n\in\mathbb N^*$，则 $a_8=$ ．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛陕西省预赛（一试）
【标注】
【答案】
$194$
【解析】
由 $a_{n+2}=a_n+a_{n+1}$，得$$a_7=5a_1+8a_2,a_8=8a_1+13a_2,$$由 $a_7=120$，得$$5a_1+8a_2=120,$$因为 $(5,8)=1$，且 $a_1,a_2$ 均为正整数，所以$$8\mid a_1,5\mid a_2.$$设 $a_1=8k,a_2=5m$（$k,m\in\mathbb N^*$），则$$k+m=3.$$又 $a_1<a_2$，所以 $k=1,m=2$，从而$$a_1=8 , a_2=10,$$故$$a_8=8a_1+13a_2=194.$$
题目
答案
解析
备注
