设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{2013}{\left[\dfrac{2013+2^k}{2^{k+1}}\right]}=$ ．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛湖北省预赛
【标注】
【答案】
$2013$
【解析】
因为$$2^{10}=1024<2013<2^{11}=2048,$$所以当 $k\geqslant 11$ 时，$0<\dfrac {2013+2^k}{2^{k+1}}<1$，所以$$\left[\dfrac {2013+2^k}{2^{k+1}}\right]=0,$$因此$$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{2013}{\left[\dfrac{2013+2^k}{2^{k+1}}\right]}=\sum\limits_{k=0}^{10}{\left[\dfrac{2013+2^k}{2^{k+1}}\right]}=2013.$$
题目
答案
解析
备注
