将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色．若只有 $4$ 种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有 种．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛广西壮族自治区预赛
【标注】
【答案】
$72$
【解析】
设四棱锥为 $P-ABCD$．下面分三种情况讨论：
情形一 $AC$ 同色，但 $BD$ 不同色：
$P$ 的着色方法种数为 ${\rm C}_{4}^{1}$，$AC$ 的着色方法种数为 ${\rm C}_{3}^{1}$，$B$ 的着色方法种数为 ${\rm C}_{2}^{1}$，$C$ 的着色方法种数为 ${\rm C}_{1}^{1}$，共有$${\rm C}_{4}^{1}\cdot {\rm C}_{3}^{1}\cdot {\rm C}_{2}^{1}\cdot {\rm C}_{1}^{1}=24$$种．
情形二 $AC$ 不同色，但 $BD$ 同色：
$P$ 的着色方法种数为 ${\rm C}_{4}^{1}$，$BD$ 的着色方法种数为 ${\rm C}_{3}^{1}$，$A$ 的着色方法种数为 ${\rm C}_{2}^{1}$，$C$ 的着色方法种数为 ${\rm C}_{1}^{1}$，共有$${\rm C}_{4}^{1}\cdot {\rm C}_{3}^{1}\cdot {\rm C}_{2}^{1}\cdot {\rm C}_{1}^{1}=24$$种．
情形三 $AC$ 同色，$BD$ 也同色：
$P$ 的着色方法种数为 ${\rm C}_{4}^{1}$，$BD$ 的着色方法种数为 ${\rm C}_{3}^{1}$，$AC$ 的着色方法种数为 ${\rm C}_{2}^{1}$，共有$${\rm C}_{4}^{1}\cdot {\rm C}_{3}^{1}\cdot {\rm C}_{2}^{1}=24$$种．
因此不同的染色方法总数为\[24+24+24=72.\]
$P$ 的着色方法种数为 ${\rm C}_{4}^{1}$，$AC$ 的着色方法种数为 ${\rm C}_{3}^{1}$，$B$ 的着色方法种数为 ${\rm C}_{2}^{1}$，$C$ 的着色方法种数为 ${\rm C}_{1}^{1}$，共有$${\rm C}_{4}^{1}\cdot {\rm C}_{3}^{1}\cdot {\rm C}_{2}^{1}\cdot {\rm C}_{1}^{1}=24$$种．
$P$ 的着色方法种数为 ${\rm C}_{4}^{1}$，$BD$ 的着色方法种数为 ${\rm C}_{3}^{1}$，$A$ 的着色方法种数为 ${\rm C}_{2}^{1}$，$C$ 的着色方法种数为 ${\rm C}_{1}^{1}$，共有$${\rm C}_{4}^{1}\cdot {\rm C}_{3}^{1}\cdot {\rm C}_{2}^{1}\cdot {\rm C}_{1}^{1}=24$$种．
$P$ 的着色方法种数为 ${\rm C}_{4}^{1}$，$BD$ 的着色方法种数为 ${\rm C}_{3}^{1}$，$AC$ 的着色方法种数为 ${\rm C}_{2}^{1}$，共有$${\rm C}_{4}^{1}\cdot {\rm C}_{3}^{1}\cdot {\rm C}_{2}^{1}=24$$种．
因此不同的染色方法总数为\[24+24+24=72.\]
题目
答案
解析
备注
