已知 $\triangle ABC$ 为等腰直角三角形，$\angle A=90^\circ$，且 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$．若 $\overrightarrow{a}=(\cos\theta,\sin\theta)(\theta\in\mathbb R)$，则 $\triangle ABC$ 的面积等于 ．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛陕西省预赛（一试）
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
由题设知$$AB\perp AC , |AB|=|AC|,$$所以$$\begin{cases}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=0,\\ \left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|,\end{cases}$$即$$\begin{cases}\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|,\\\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0.\end{cases}$$因为 $\left|\overrightarrow{a}\right|=1$，所以 $\left|\overrightarrow{b}\right|=1$．
题目
答案
解析
备注
