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设 $\{a_n\}$ 为等比数列，且每项都大于 $1$，则 $\displaystyle \lg a_1\lg a_{2012}\sum\limits_{i=1}^{2011}{\dfrac{1}{\lg a_i\lg a_{i+1}}}$ 的值为  ．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    数列
    >
    数列求和
【答案】
$2011$
【解析】
情形一 当公比为 $1$ 时，易知$$\lg a_1\lg a_{2012}\sum\limits_{i=1}^{2011}{\dfrac{1}{\lg a_i\lg a_{i+1}}}=2011.$$情形二 当公比为 $q\ne1$ 时，则$$\begin{split}\text{原式}&=\dfrac{\lg a_1\lg a_{2012}}{\lg q}\sum\limits_{i=1}^{2011}{\left(\dfrac{1}{\lg a_i}-\dfrac{1}{\lg a_{i+1}}\right)}\\&=\dfrac{\lg a_1\lg a_{2012}}{\lg q}\sum\limits_{i=1}^{2011}{\left(\dfrac{1}{\lg a_1}-\dfrac{1}{\lg a_{2012}}\right)}\\&=2011.\end{split}$$
题目 答案 解析 备注
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