显然$$2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7.$$由于$$n\mid 2016^2 , 2016\mid n^2,$$所以 $n$ 与 $2016$ 有相同的质因子，不妨设\[n=2^x\cdot 3^y\cdot 7^z.\]由 $n\mid 2016^2$，得$$x\leqslant 10,y\leqslant 4,z\leqslant 2,$$由 $2016\mid n^2$，得\[2x\geqslant 5,2y\geqslant 2,2z\geqslant 1,\]因此\[3\leqslant x\leqslant 10,1\leqslant y\leqslant 4,1\leqslant z\leqslant 2,\]从而\[\begin{split}M&=(2^3+2^4+\cdots+2^{10})(3+3^2+3^3+3^4)(7+7^2)\\&=2^9\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7\cdot 17,\end{split}\]因此，$M$ 的所有不同正因子的个数为：\[(9+1)(2+1)(2+1)(1+1)(1+1)=360.\]