已知数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=\dfrac 1{(n+1)\sqrt n+n\sqrt{n+1}}$（$n\in \mathbb N^*$），其前 $n$ 项和为 $S_n$，则在数列 $S_1,S_2,\cdots ,S_{2009}$ 中，有理数项共有 项．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
$43$
【解析】
因为\[\begin{split}a_k&=\dfrac 1{\sqrt{k(k+1)}\left(\sqrt{k+1}+\sqrt k\right)}\\&=\dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt k}{\sqrt{k(k+1)}}\\&=\dfrac 1{\sqrt k}-\dfrac 1{\sqrt{k+1}},\end{split}\]所以\[\begin{split}S_n&=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac 1{(n+1)\sqrt n+n\sqrt{n+1}}\\&=\sum\limits_{k=1}^n\left(\dfrac 1{\sqrt k}-\dfrac 1{\sqrt{k+1}}\right)\\&=1-\dfrac 1{\sqrt{n+1}}.\end{split}\]因为$$44<\sqrt{2010}<45,$$所以$$n+1=2^2,3^2,4^2,\cdots ,44^2.$$因此 $S_1,S_2,\cdots ,S_{2009}$ 中只有 $43$ 个有理项．
题目
答案
解析
备注
