已知复数 $z_1,z_2$ 满足 $|z_1+z_2|=20$，$|z_1^2+z_2^2|=16$，则 $|z_1^3+z_2^3|$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$3520$
【解析】
因为\[\begin{split}|z_1^3+z_2^3|&=|z_1+z_2|\cdot |z_1^2-z_1z_2+z_2^2|\\&=20\cdot \left|\dfrac{3}{2}(z_1^2+z_2^2)-\dfrac{1}{2}(z_1+z_2)^2\right|\\&\geqslant 20\cdot \left|\dfrac{3}{2}|z_1^2+z_2^2|-\dfrac{1}{2}|z_1+z_2|^2\right|\\&=3520,\end{split}\]当$$z_1^2+z_2^2=16 z_1+z_2=20,$$即\[z_1=10+2\sqrt {23}{\rm i}, z_2=10-2\sqrt {23}{\rm i}\]时，可取等号，所以 $|z_1^3+z_2^3|$ 的最小值为 $3520$．
题目
答案
解析
备注
