若正整数 $m$ 使得对任意一组满足 $a_1a_2a_3a_4=1$ 的正数 $a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$ 都有 $a_1^m+a_2^m+a_3^m+a_4^m \geqslant \dfrac {1}{a_1}+\dfrac {1}{a_2}+\dfrac {1}{a_3}+\dfrac {1}{a_4} $ 成立，则正整数 $m$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
取$$a_1=\dfrac {1}{27} , a_2=a_3=a_4=3,$$则$$\begin{split}a_1^m+a_2^m+a_3^m+a_4^m=\left(\dfrac {1}{27}\right)^m+3 \times 3^m,\\\dfrac {1}{a_1}+\dfrac {1}{a_2}+\dfrac {1}{a_3}+\dfrac {1}{a_4} =27+3\times \dfrac 13=28.\end{split}$$经验证 $m=1$，$m=2$ 不符合要求，故 $m \geqslant 3$．
由均值不等式\[\begin{split}\dfrac {a_1^3+a_2^3+a_3^3}{3}&\geqslant a_1a_2a_3,\\ \dfrac {a_1^3+a_2^3+a_4^3}{3}&\geqslant a_1a_2a_4,\\ \dfrac {a_1^3+a_3^3+a_4^3}{3}&\geqslant a_1a_3a_4,\\ \dfrac {a_2^3+a_3^3+a_4^3}{3}&\geqslant a_2a_3a_4, \end{split}\]得\[\begin{split} a_1^3+a_2^3+a_3^3+a_4^3& \geqslant a_1a_2a_3+a_1a_2a_4+a_1a_3a_4+a_2a_3a_4\\&= \dfrac {1}{a_1}+\dfrac {1}{a_2}+\dfrac {1}{a_3}+\dfrac {1}{a_4} ,\end{split}\]因此 $m=3$ 符合要求，故正整数 $m$ 的最小值为 $3$．
由均值不等式\[\begin{split}\dfrac {a_1^3+a_2^3+a_3^3}{3}&\geqslant a_1a_2a_3,\\ \dfrac {a_1^3+a_2^3+a_4^3}{3}&\geqslant a_1a_2a_4,\\ \dfrac {a_1^3+a_3^3+a_4^3}{3}&\geqslant a_1a_3a_4,\\ \dfrac {a_2^3+a_3^3+a_4^3}{3}&\geqslant a_2a_3a_4, \end{split}\]得\[\begin{split} a_1^3+a_2^3+a_3^3+a_4^3& \geqslant a_1a_2a_3+a_1a_2a_4+a_1a_3a_4+a_2a_3a_4\\&= \dfrac {1}{a_1}+\dfrac {1}{a_2}+\dfrac {1}{a_3}+\dfrac {1}{a_4} ,\end{split}\]因此 $m=3$ 符合要求，故正整数 $m$ 的最小值为 $3$．
题目
答案
解析
备注
