如图，在 $\triangle{ABC}$，$AB=3$，$AC=5$，若 $O$ 为 $\triangle{ABC}$ 的外心，则 $\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{BC}$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛陕西省预赛（一试）
【标注】
【答案】
$8$
【解析】
如图，设 $D$ 为 $BC$ 的中点，连结 $OD,AD$，则 $OD\perp BC$．
因此\[\begin{split}\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{BC}&=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DO}\right)\cdot \overrightarrow{BC}\\&=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}\\&=\dfrac 12\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right)\cdot \left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\\&=\dfrac 12 \left(\left|\overrightarrow{AC}\right|^2-\left|\overrightarrow{AB}\right|^2\right)\\&=8.\end{split}\]
因此\[\begin{split}\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{BC}&=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DO}\right)\cdot \overrightarrow{BC}\\&=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}\\&=\dfrac 12\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right)\cdot \left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\\&=\dfrac 12 \left(\left|\overrightarrow{AC}\right|^2-\left|\overrightarrow{AB}\right|^2\right)\\&=8.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
