设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右焦点，以 $F_1F_2$ 为直径的圆交双曲线左支于 $A,B$ 两点，且 $\angle{AF_1B}=120^{\circ}$．双曲线的离心率的值介于整数 $k$ 与 $k+1$ 之间，则 $k=$ ．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛江苏省复赛
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
因为 $\angle{AF_1B}=120^{\circ}$，且 $A$ 点为双曲线与圆的交点，所以$$\angle AOF_1=\angle BOF_1=60^\circ,$$故 $A,B$ 点坐标为 $\left(-\dfrac c2,\dfrac {\pm\sqrt 3c}{2}\right)$，代入椭圆方程得$$c^4-8a^2c^2+4a^2=0,$$即$$e^4-8e^2+4=0, e>1,$$解得 $e^2=4+2\sqrt 3$．
因为$$2^2<e^2=4+2\sqrt 3<3^2,$$所以 $k=2$．
因为$$2^2<e^2=4+2\sqrt 3<3^2,$$所以 $k=2$．
题目
答案
解析
备注
