数列 $\{a_{n}\}$ 满足：$a_{1}=1$，且对每个 $n\in\mathbb N^{*}$．若 $a_{n},a_{n+1}$ 是方程 $x^{2}+3nx+b_{n}=0$ 的两根，则 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{20}b_{k}=$ ．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
$6385$
【解析】
对每个 $n\in\mathbb N^{+}$，$$a_{n}+a_{n+1}=-3n , a_{n}a_{n+1}=b_{n},$$可知\[a_{n+1}+\dfrac{3(n+1)}{2}-\dfrac{3}{4}=-\left(a_{n}+\dfrac{3n}{2}-\dfrac{3}{4}\right),\]因此 $\left\{a_{n}+\dfrac{3n}{2}-\dfrac{3}{4}\right\}$ 是一个公比为 $-1$ 的等比数列，故\[a_{n}+\dfrac{3n}{2}-\dfrac{3}{4}=(-1)^{n-1}\cdot \dfrac{7}{4},\]即\[a_{n}=-\dfrac{3(2n-1)}{4}+(-1)^{n-1}\cdot \dfrac{7}{4},\]于是\[b_{n}=a_{n}a_{n+1}=\dfrac{9}{4}n^{2}-\dfrac{29}{8}+(-1)^{n}\cdot \dfrac{21}{8},\]因此 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{20}b_{k}=6385$．
题目
答案
解析
备注
