当 $2^{t}\leqslant k<2^{t+1}$ 时，$[\log_{2}k]=t,t=0,1,2,\cdots$，且在区间 $[2^{t},2^{t+1})$ 中的正整数有 $2^{t}$ 个．设 $f(x)=[\log_{2}x]$，注意到 $2^{9}=512$，记 $M=[\log_{2}1]+[\log_{2}2]+[\log_{2}3]+\cdots+[\log_{2}500]$，则\[\begin{split}M&=\sum\limits_{k=1}^{500}f(k)\\&=f(1)+\sum\limits_{k=2}^{3}f(k)+\sum\limits_{k=4}^{7}f(k)+\sum\limits_{k=8}^{15}f(k)+\sum\limits_{k=16}^{31}f(k)+\sum\limits_{k=32}^{63}f(k)+\sum\limits_{k=64}^{127}f(k)+\sum\limits_{k=128}^{355}f(k)+\sum\limits_{k=256}^{500}f(k)\\&=0+1\cdot 2^{1}+2\cdot 2^{2}+3\cdot 2^{3}+4\cdot 2^{4}+5\cdot 2^{5}+6\cdot 2^{6}+7\cdot 2^{7}+8\cdot (2^{8}-11).\end{split}\]记 $S=1\cdot 2^{1}+2\cdot 2^{2}+3\cdot 2^{3}+4\cdot 2^{4}+5\cdot 2^{5}+6\cdot 2^{6}+7\cdot 2^{7}+8\cdot 2^{8}$，则\[2S=1\cdot 2^{2}+2\cdot 2^{3}+3\cdot 2^{4}+4\cdot 2^{5}+5\cdot 2^{6}+6\cdot 2^{7}+7\cdot 2^{8}+8\cdot 2^{9},\]两式相减得\[-S=2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{8}-8\cdot 2^{9}=2^{9}-2-8\cdot 2^{9},\]所以\[S=7\cdot 2^{9}+2=3586.\]因此\[[\log_{2}1]+[\log_{2}2]+[\log_{2}2]+\cdots+[\log_{2}500]=3586-8\cdot 11=3498.\]