若关于 $x$ 的方程 $x^3+ax^2+bx-4=0$（$a,b \in \mathbb N^*$）有正整数解，则 $|a-b|=$ ．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛陕西省预赛（一试）
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
设 $m$ 是方程的一个正整数解．
若 $m \geqslant 2$，则$$am^2+bm=4-m^3<0,$$这与 $a$，$b$ 均为正整数矛盾，所以，只有 $m=1$，代入得 $a+b=3$．
由 $a,b \in \mathbb N^*$ 知$$\{a,b\}=\{1,2\},$$故 $|a-b|=1$．
解法二：
易知，方程的正整数解必为 $4$ 的约数．
因为 $4$ 的约数有 $1$，$2$，$4$，分别代入原方程，得$$a+b-3=0 , 4a+2b+4=0 , 16a+4b+60=0.$$易知后两个方程无正整数解，所以 $a+b=3$．
由 $a,b \in \mathbb N^*$ 知$$\{a,b\}=\{1,2\},$$故 $|a-b|=1$．
若 $m \geqslant 2$，则$$am^2+bm=4-m^3<0,$$这与 $a$，$b$ 均为正整数矛盾，所以，只有 $m=1$，代入得 $a+b=3$．
由 $a,b \in \mathbb N^*$ 知$$\{a,b\}=\{1,2\},$$故 $|a-b|=1$．
易知，方程的正整数解必为 $4$ 的约数．
因为 $4$ 的约数有 $1$，$2$，$4$，分别代入原方程，得$$a+b-3=0 , 4a+2b+4=0 , 16a+4b+60=0.$$易知后两个方程无正整数解，所以 $a+b=3$．
由 $a,b \in \mathbb N^*$ 知$$\{a,b\}=\{1,2\},$$故 $|a-b|=1$．
题目
答案
解析
备注
