已知函数 $y=x^3$ 在 $x=a_k$ 的切线和 $x$ 轴交于 $a_{k+1}$．如果 $a_1=1$，则 $\lim \limits_{n\to \infty}S_n=$ ．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
由 $y=x^3$ 知 $y'=3x^2$，于是 $y=x^3$ 在 $x=a_k$ 的切线方程为$$y-a_k^3=3a_k^2(x-a_k),$$它与 $x$ 轴交于点 $(a_{k+1},0)$，故$$-a_k^3=3a_k^2(a_{k+1}-a_k),$$由此可得$$a_{k+1}=\dfrac 23a_k.$$又 $a_1=1$，故$$\lim \limits_{n\to \infty}S_n=\lim \limits_{n\to \infty}\dfrac {1-\left(\dfrac 23\right)^n}{1-\dfrac 23}=\dfrac {1}{1-\dfrac 23}=3.$$
题目
答案
解析
备注
