用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为 $1,2,3,\cdots,9$ 的 $9$ 个小正方形（如图），使得任意两个相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“$3,5,7$”号数字涂相同颜色，则符合条件的所有涂色方法有 种．（用具体数字作答）\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline 1 & 2 & 3 \\ \hline 4&5&6\\ \hline 7&8&9 \\ \hline \end{array}\]
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
$108$
【解析】
因为 $3,5,7$ 号染色相同，所以它们有 $3$ 种染色方法．
若 $2,4$ 号染色相同，则它们有 $2$ 种染色方法，从而 $1$ 号有 $2$ 种染色方法．
若 $2,4$ 号染色不相同，则它们有 $2$ 种染色方法，而 $1$ 号只有 $1$ 种染色方法．
由正方形对称性知，染色方法种数为$$3\cdot (2\cdot 2+2\cdot 1)^{2}=108.$$
若 $2,4$ 号染色相同，则它们有 $2$ 种染色方法，从而 $1$ 号有 $2$ 种染色方法．
若 $2,4$ 号染色不相同，则它们有 $2$ 种染色方法，而 $1$ 号只有 $1$ 种染色方法．
由正方形对称性知，染色方法种数为$$3\cdot (2\cdot 2+2\cdot 1)^{2}=108.$$
题目
答案
解析
备注
