已知三个互不相等的整数 $x,y,z$ 之和介于 $40$ 和 $44$ 之间，若 $x,y,z$ 依次构成公差为 $d$ 的等差数列，$x+y,y+z,z+x$ 依次构成公比为 $q$ 的等比数列，则 $d\cdot q$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛陕西省预赛（一试）
【标注】
【答案】
$42$
【解析】
由 $x=y-d$，$z=y+d$，得$$x+y=2y-d , y+z=2y+d , z+x=2y.$$又由$$(x+y)(z+x)=(y+z)^{2},$$得\[2y(2y-d)=(2y+d)^{2},\]即$$d(d+6y)=0.$$因为 $d\ne 0$，所以 $d=-6y$．
又\[40<x+y+z=3y<44,\]所以 $\dfrac{40}{3}<y<\dfrac{44}{3}$．
因为 $y$ 为整数，所以 $y=14$，从而 $d=-6y=-84$，所以$$q=\dfrac{y+z}{x+y}=\dfrac{2y+d}{2y-d}=-\dfrac{1}{2}.$$
又\[40<x+y+z=3y<44,\]所以 $\dfrac{40}{3}<y<\dfrac{44}{3}$．
因为 $y$ 为整数，所以 $y=14$，从而 $d=-6y=-84$，所以$$q=\dfrac{y+z}{x+y}=\dfrac{2y+d}{2y-d}=-\dfrac{1}{2}.$$
题目
答案
解析
备注
