若 $0\leqslant x_{i}\leqslant 1(i=1,2,\cdots,5)$，则 $M=|x_{1}-x_{2}|^{3}+|x_{2}-x_{3}|^{3}+|x_{3}-x_{4}|^{3}+|x_{4}-x_{5}|^{3}+|x_{5}-x_{1}|^{3}$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛陕西省预赛（一试）
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
$(1)$ 若存在正整数 $j$，使得 $x_{j}=x_{j+1}(j=1,2,\cdots,5,\text{规定}x_{6}=x_{1})$，则 $M\leqslant 4$．
上式等号可以成立，例如，取 $x_{1}=0$，$x_{2}=1$，$x_{3}=0$，$x_{4}=1$，$x_{5}=0$．
$(2)$ 若对任意正整数 $i$，都有 $x_{i}\ne x_{i+1}(i=1,2,\cdots,5\text{规定}x_{6}=x_{1})$，则要么 $x_{i-1}<x_{i}$，且 $x_{i}>x_{i+1}$，要么 $x_{i-1}<x_{i}<x_{i+1}$ 或 $x_{i-1}>x_{i}>x_{i+1}$．
如果 $x_{i-1}<x_{i}$ 且 $x_{i}>x_{i+1}$，则有 $x_{1}<x_{2}$，$x_{2}>x_{3}$，$x_{3}<x_{4}$，$x_{4}>x_{5}$，$x_{5}<x_{1}$，$x_{1}>x_{2}$，矛盾．
因此，只有 $x_{i-1}<x_{i}<x_{i+1}$ 或 $x_{i-1}>x_{i}>x_{i+1}$．对于以上两种情况，都有\[\left|x_{i-1}-x_{i}\right|^{3}+\left|x_{i}-x_{i+1}\right|^{3}<|x_{i-1}-x_{i+1}|^{3}\leqslant 1.\]从而，$M<1+3=4$．
综合 $(1)$，$(2)$，$M$ 的最大值为 $4$．
上式等号可以成立，例如，取 $x_{1}=0$，$x_{2}=1$，$x_{3}=0$，$x_{4}=1$，$x_{5}=0$．
$(2)$ 若对任意正整数 $i$，都有 $x_{i}\ne x_{i+1}(i=1,2,\cdots,5\text{规定}x_{6}=x_{1})$，则要么 $x_{i-1}<x_{i}$，且 $x_{i}>x_{i+1}$，要么 $x_{i-1}<x_{i}<x_{i+1}$ 或 $x_{i-1}>x_{i}>x_{i+1}$．
如果 $x_{i-1}<x_{i}$ 且 $x_{i}>x_{i+1}$，则有 $x_{1}<x_{2}$，$x_{2}>x_{3}$，$x_{3}<x_{4}$，$x_{4}>x_{5}$，$x_{5}<x_{1}$，$x_{1}>x_{2}$，矛盾．
因此，只有 $x_{i-1}<x_{i}<x_{i+1}$ 或 $x_{i-1}>x_{i}>x_{i+1}$．对于以上两种情况，都有\[\left|x_{i-1}-x_{i}\right|^{3}+\left|x_{i}-x_{i+1}\right|^{3}<|x_{i-1}-x_{i+1}|^{3}\leqslant 1.\]从而，$M<1+3=4$．
综合 $(1)$，$(2)$，$M$ 的最大值为 $4$．
题目
答案
解析
备注
