若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{4}=9$，$(a_{n+1}-a_{n}-1)(a_{n+1}-3a_{n})=0,n\in\mathbb N^{*}$，则满足条件的 $a_{1}$ 的所有可能值之积是 ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛江苏复赛
【标注】
【答案】
$0$
【解析】
由 $(a_{n+1}-a_{n}-1)(a_{n+1}-3a_{n})=0$ 知 $a_{n+1}-a_{n}-1=0$ 或 $a_{n+1}-3a_{n}=0$．
因为 $a_{4}=9$，所以 $a_{3}$ 可能为 $3$．同理 $a_{2}$ 可能为 $1$，从而推知 $a_{1}$ 可能为 $0$．
因此，符合条件的一个数列的前四项可以是 $0,1,3,9$．故满足条件的 $a_{1}$ 的所有可能值之积是 $0$．
因为 $a_{4}=9$，所以 $a_{3}$ 可能为 $3$．同理 $a_{2}$ 可能为 $1$，从而推知 $a_{1}$ 可能为 $0$．
因此，符合条件的一个数列的前四项可以是 $0,1,3,9$．故满足条件的 $a_{1}$ 的所有可能值之积是 $0$．
题目
答案
解析
备注
