将边长为 $\sqrt 2$ 的正四面体嵌入单位正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，则边长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的外接球半径即为边长为 $\sqrt 2$ 的正四面体的内切球半径，单位正方体的外接球即为其体对角线长 $\sqrt 3$ 的一半即 $\dfrac{\sqrt 3}{2}$．
设边长为 $\sqrt 2$ 的正四面体的内切球半径为 $r$，则该四面体的体积 $V$ 为 $\dfrac{1}{3}r$ 与 $4$ 个边长为 $\sqrt 2$ 的正三角形的面积之和的乘积即 $V=\dfrac{2\sqrt 3}{3}r$，由边长为 $\sqrt 2$ 的正四面体的体积 $V=1-4\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}$，得 $r=\dfrac{1}{2\sqrt 3}=\dfrac{\sqrt 3}{6}$，于是边长为 $\sqrt 2$ 的正四面体的外接球与其内切球半径的比值为 $3$．