设 $z=a+b{\rm i}(a,b \in \mathbb R), x=x_0$ 是方程 $x^2-2zx+\dfrac 3 4+{\rm i}=0$ 的一个实数根．则\[x_0^2-2(a+b{\rm i})x_0+\dfrac 3 4+{\rm i}=0.\]所以\[\begin{cases}x_0^2-2ax_0+\dfrac 3 4=0, \qquad \qquad \qquad \text{ ① }\\-2bx_0+1=0.\qquad \qquad \qquad \qquad \text{ ② }\end{cases}\]由\text{ ② }得，$x_0=\dfrac 1 {2b}$，代入\text{ ① }，得 $\dfrac 1{4b^2}-2a \cdot \dfrac 1{2b}+\dfrac 3 4=0$，
则 $3b^2-4ab+1=0$，得 $a=\dfrac{3b^2+1}{4b}$．
所以\[\begin{split}|z|^2&=a^2+b^2=\left(\dfrac{3b^2+1}{4b}\right)^2+b^2\\&=\dfrac{25}{16}b^2+\dfrac 1{16b^2}+\dfrac 3 8 \geqslant \dfrac 5 8+\dfrac 3 8\\&=1,\end{split}\]当且仅当 $b=\pm\dfrac{\sqrt 5}{5}$ 时等号成立．
所以 $|z|$ 的最小值为 $1$．
$\left(a=\dfrac{2\sqrt 5}{5},b=\dfrac{\sqrt 5}{5}\text{或}a=-\dfrac{2\sqrt 5}{5},b=-\dfrac{\sqrt 5}{5},\text{即}z=\pm\left(\dfrac{2\sqrt 5}{5}+\dfrac{\sqrt 5}{5}{\rm i}\right).\right)$