定义数列 $\{a_n\}:a_n$ 为 $1+2+3+\cdots+n$ 的末位数字，$S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项之和，则 $S_{2016}=$ ．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
$7066$
【解析】
因为\[\dfrac{(n+20)(n+20+1)}2=\dfrac{n^2+41n+420}2=\dfrac{n(n+1)}2+20n+210,\]所以 $\dfrac{(n+20)(n+21)}2$ 与 $\dfrac{n(n+1)}2$ 末位数相同，
即 $a_{n+20}=a_n$，所以 $S_{2016}=S_{16}+100S_{20}$．又\[\begin{split}S_{20}&=a_1+a_2+\cdots+a_{20}\\&=1+3+6+0+5+1+8+6+5+5+6+8+1+5+0+6+3+1+0+0=70,\\S_{16}&=66.\end{split}\]所以 $S_{2016}=S_{16}+100S_{20}=66+100 \times 70=7066$．
即 $a_{n+20}=a_n$，所以 $S_{2016}=S_{16}+100S_{20}$．又\[\begin{split}S_{20}&=a_1+a_2+\cdots+a_{20}\\&=1+3+6+0+5+1+8+6+5+5+6+8+1+5+0+6+3+1+0+0=70,\\S_{16}&=66.\end{split}\]所以 $S_{2016}=S_{16}+100S_{20}=66+100 \times 70=7066$．
题目
答案
解析
备注
