过正四面体 $ABCD$ 的顶点 $A$ 作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面 $BCD$ 所成的角为 $75^\circ$．这样的截面共可作出 个．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
$18$
【解析】
不妨设正四面体 $ABCD$ 的棱长为 $1$，正 $\triangle BCD$ 中心为 $O$．
在 $\triangle BCD$ 内，以 $O$ 为圆心，$\dfrac{\sqrt 6}3\cot 75^\circ$ 为半径作圆，则所求截面与平面 $BCD$ 的交线是该圆的切线．
有以下三种情况：
$(1)$ 切线与 $\triangle BCD$ 的一边平行时，有 $6$ 个这样的截面．
$(2)$ 切线 $B_1C_1$（其中 $B_1$ 在边 $BC$ 上，$C_1$ 在边 $CD$ 上）且 $CB_1=C_1D$，则截面 $\triangle AB_1C_1$ 为等腰三角形，这样的截面有 $6$ 个．
$(3)$ 作 $BE$ 切圆 $O$，交 $CD$ 于 $E$，由 $\triangle BCE \cong \triangle ACE$，有 $BE=AE$，对应 $\triangle ABE$ 是等腰三角形，这样的截面共有 $6$ 个．
故满足条件的截面共有 $18$ 个．
在 $\triangle BCD$ 内，以 $O$ 为圆心，$\dfrac{\sqrt 6}3\cot 75^\circ$ 为半径作圆，则所求截面与平面 $BCD$ 的交线是该圆的切线．
有以下三种情况：
$(1)$ 切线与 $\triangle BCD$ 的一边平行时，有 $6$ 个这样的截面．
$(2)$ 切线 $B_1C_1$（其中 $B_1$ 在边 $BC$ 上，$C_1$ 在边 $CD$ 上）且 $CB_1=C_1D$，则截面 $\triangle AB_1C_1$ 为等腰三角形，这样的截面有 $6$ 个．
$(3)$ 作 $BE$ 切圆 $O$，交 $CD$ 于 $E$，由 $\triangle BCE \cong \triangle ACE$，有 $BE=AE$，对应 $\triangle ABE$ 是等腰三角形，这样的截面共有 $6$ 个．
故满足条件的截面共有 $18$ 个．
题目
答案
解析
备注
