对于任何集合 $S$，用 $|S|$ 表示集合 $S$ 中的元素个数，用 $n(S)$ 表示集合 $S$ 的子集个数．若 $A,B,C$ 是三个有限集，且满足条件：
① $|A|=|B|=2016$；
② $n(A)+n(B)+n(C)=n(A \cup B \cup C)$．
则 $|A \cap B \cap C|$ 的最大值是 ．
① $|A|=|B|=2016$；
② $n(A)+n(B)+n(C)=n(A \cup B \cup C)$．
则 $|A \cap B \cap C|$ 的最大值是
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
$2015$
【解析】
由条件知\[2^{2016}+2^{2016}+2^{|C|}=2^{|A\cup B\cup C|},\]即\[1+2^{|C|-2017}=2^{|A\cup B\cup C|-2017}.\]于是\[|C|=2017,|A\cup B\cup C|=2018.\]显然\[|A\cap B\cap C|\leqslant \min\{|A|,|B|\}=2016.\]若 $|A\cap B\cap C|=2016$，则必有 $A=B \subseteq C$，从而 $|A\cup B\cup C|=|C|=2017$，矛盾．
所以，$|A\cap B\cap C|\leqslant 2015$．构造：\[\begin{split}A&=\{1,2,\cdots,2015,2016\},\\B&=\{1,2,\cdots,2015,2017\},\\C&=\{1,2,\cdots,2015,2016,2018\},\end{split}\]符合条件．
所以，$|A\cap B\cap C|$ 的最大值是 $2015$．
所以，$|A\cap B\cap C|\leqslant 2015$．构造：\[\begin{split}A&=\{1,2,\cdots,2015,2016\},\\B&=\{1,2,\cdots,2015,2017\},\\C&=\{1,2,\cdots,2015,2016,2018\},\end{split}\]符合条件．
所以，$|A\cap B\cap C|$ 的最大值是 $2015$．
题目
答案
解析
备注
