已知数列 $\{a_{n}\}$，\[a_{n}+a_{n+1}=n\cdot (-1)^{\frac{n(n+1)}{2}},\]前 $n$ 项和为 $S_{n}$，\[m+S_{2015}=-1007,a_{1}m>0,\]则 $\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{4}{m}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
$9$
【解析】
\[\begin{split}a_{2}+a_{3}&=-2,\\ a_{4}+a_{5}&=4,\\ a_{6}+a_{7}&=-6,\\ a_{8}+a_{9}&=8,\\ \cdots\\ a_{2012}+a_{2013}&=2012,\\ a_{2014}+a_{2015}&=-2014,\end{split}\]则 $S_{2015}=a_{1}-1008$，所以\[m+a_{1}-1008=-1007,\]所以 $m+a_{1}=1$，而 $ma_{1}>0$，所以 $m>0$，$a_{1}>0$，故\[\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{4}{m}=(m+a_{1})\left(\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{4}{m}\right)=5+\dfrac{m}{a_{1}}+\dfrac{4a_{1}}{m}\geqslant 9.\]
题目
答案
解析
备注
