设 $n$ 为正整数，使得 $\sqrt 3$ 介于 $\dfrac{n+3}{n}$ 与 $\dfrac{n+4}{n+1}$ 之间，则 $n=$ ．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛山西省预赛
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
注意\[\dfrac{n+4}{n+1} =1 +\dfrac{3}{n+1} < 1+\dfrac 3 n = \dfrac{n+3}{n},\]而 $\sqrt 3$ 是无理数，于是，\[1+\dfrac 3 {n+1} <\sqrt 3 <1+\dfrac 3 n,\]即\[\dfrac 3 {n+1}<\sqrt 3 -1<\dfrac 3 n,\]则\[n<\dfrac 3{\sqrt 3 - 1}<n+1,\]从而\[n=\left[\dfrac 3 {\sqrt 3-1}\right]=4.\]
题目
答案
解析
备注
