由 $\displaystyle s = \sum\limits_{k=1}^{2015} k \cdot 2^k$ 得$$2s = \sum\limits_{k=1}^{2015} k \cdot 2^{k +1} = \sum\limits_{k=1}^{2015} (k-1) \cdot 2^k,$$从而有\[\begin{split} s &= 2s-s \\&=\sum\limits_{k=1}^{2016} (k -1)\cdot 2^k - \sum\limits_{k=1}^{2015} k \cdot 2^k \\ & =2015 \cdot 2^{2016} - \sum\limits_{k=1}^{2015} 2^k \\ & =2014 \cdot 2^{2016} +2 .\end{split}\]由 $2^{10} = 1024$ 可见当正整数 $n>1$ 时，$2^{20+n} - 2^n = 2^n \cdot 1025 \cdot 1023$ 是 $100$ 的倍数，从而 $2^{2016}$ 除以 $100$ 与 $2^{16}$ 除以 $100$ 有相同的余数．再由 $2^{16}$ 除以 $100$ 的余数是 $36$ 知 $s$ 除以 $100$ 的余数等于 $14 \cdot 36 + 2$ 除以 $100$ 的余数，结果为 $6$．故 $s$ 除以 $100$ 的余数，结果为 $6$．